Jak najprościej przekształcić ranking FIFA w Ligę Krajów

Na początek przedstawię najprostszy wariant mojego systemu rankingowego, opartego o stosowany od 1960 roku system prof. Arpada Elo dla rozgrywek szachowych. Pozwoli to najłatwiej zrozumieć ideę systemu rankingowego Elo.

Pierwsza publikacja rankingu FIFA miała miejsce w grudniu 1992. Początkowo założenia w przyznawaniu punktów rankingowych były proste: 3 punkty za zwycięstwo, 1 za remis i 0 za porażkę. Wszystko to miało wzorować się na takim samym systemie, jaki obowiązywał w rozgrywkach ligowych. W odróżnieniu od rozgrywek ligowych, niektóre reprezentacje narodowe rozgrywają mecze bardzo często, inne bardzo rzadko. Tak np. zespół z Meksyku od początku obecnego wieku do końca października 2017 roku zdążył już rozegrać 317 meczów, ekipa USA 291, a drużyna Bahrajnu 284. Na przeciwnym biegunie znajdują się zespoły z Wysp Turks i Caicos (13 rozegranych w tym wieku meczów), Montserratu(17), Wysp św. Tomasza i Bahamów po 18 spotkań. Ponadto niemal każda drużyna rozgrywa mecze z inną grupą przeciwników. Grupy te pod względem siły gry mogą się też znacznie różnić. Co innego jest wygrać mecz z San Marino czy Andorą, a co innego z Niemcami czy z Brazylią. Wyżej wymienione problemy da się w bardzo dużym stopniu rozwiązać dzięki dwóm dość prostym pomysłom.

 Punktacja uwzględniająca siłę gry przeciwnika (PT)

Jeżeli drużyna spotyka się z ekipą wyżej notowaną, to w momencie rozpoczynania meczu dopisuję jej „trochę” (od 0 do 1.00) punktów rankingowych. Jeżeli natomiast drużyna spotyka się z ekipą niżej notowaną, to w momencie rozpoczynania meczu odejmuję jej „trochę” (od 0 do 1.00) punktów rankingowych. Wielkość, którą określiłem jako „trochę” i dalej w tekście oznaczał będę jako „PT”, zależy jedynie od różnicy punktów rankingowych (RR) u drużyn rozgrywających mecz. Można będzie ją odczytać ze specjalnej tabeli zależności pomiędzy RP a PT zamieszczonej poniżej.

 Tabela nr 1

Generując powyższą tabelkę posłużyłem się  dystrybuantą zmiennej losowej o rozkładzie normalnym i parametrach N(0, 7.98). Jak widać z powyższej tabeli, jeżeli wartość RR rośnie, to odpowiadająca jej wartość PT też rośnie (z dokładnościa do zaokrąglenia), ale w taki sposób, ażeby nie przekroczyć wartości 1.00. Biorąc jednak pod uwagę procentowy przyrost PT, to w miarę zwiększania RR wartość ta może tylko maleć, nigdy rosnąć. Widać to doskonale z poniższej tabelki.

                  Tabela nr 2
              ==================
                   RR         PU
              ==================
              0.00 -  4.47   10%
              4.48 -  8.15    9%
              8.16 - 11.18    8%
             11.19 - 14.24    7%
             14.25 - 17.69    6%
             17.70 - 22.09    5%
             22.10 - 28.56    4%
             28.57 -          3%

 Jak wynika z powyższej tabelki, jeżeli zespoły mają zbliżone rankingi, to w chwili rozpoczynania meczu, ranking drużyny niżej notowanej rośnie o 10% wartości RR, a jej przeciwnika meczowego maleje też o 10% wartości RR. Stąd prosty wniosek, że różnica w punktach rankingowych RR zmniejsza się w tym przypadku o 20% swojej wartości.

     =======  Rank1
     ------------  Rank1 - RR10

                              RR=Rank1-Rank2
                              RR10  to 10% z RR

    -----------  Rank2 + RR10
    =======  Rank2

Punktacja za wynik w meczu(PW)             

Po zakończeniu meczu liczbę punktów rankingowych zwycięskiej drużyny zwiększamy o 1, a przegranej zmniejszamy też o 1. W przypadku remisu punkty rankingowe pozostają takie same, jakie zostały obliczone w momencie rozpoczynania meczu. Całkowity przyrost lub ubytek (PU) punktów rankingowych po meczu, obliczamy wg wzoru:

                                                          PU = PT + PW

Wszystko bilansuje się tutaj jak u księgowego. Bilans zawsze musi wyjść na zero. O ile wzrośnie liczba punktów rankingowych u jednej z drużyn, to dokładnie o tyle samo zmaleje u jej przeciwnika meczowego. Suma punktów rankingowych u wszystkich drużyn powinna być więc wielkością stałą. Może się zmienić tylko w przypadku, gdy liczba drużyn ocenianych wg tego systemu zwiększy się lub zmniejszy.

                                                      Przykłady

Rozpatrzmy dla przykładu jak proponowany przeze mnie system punktowania zachowałby się na przykładzie meczu Liechtenstein – Hiszpania rozegranego  w mieście Vaduz w dniu 05.09.2017 i zakończonego wynikiem 0-8. Zdecydowanym faworytem była ekipa z Hiszpanii. Ranking Hiszpanów był o 21.02 punktów większy od rankingu przeciwnika. Z tabelki nr 1 wynika, że PT dla Hiszpanii wynosiłoby -0.99 a dla Liechtensteinu +0.99 Jeszcze przed rozpoczęciem meczu możemy wykonać większą część obliczeń. Obliczenia te przedstawione są w poniższej tabelce. W tabelce tej przez R0 oznaczyłem punkty rankingowe obydwóch ekip po zakończeniu ich poprzedniego meczu, zaś przez R1 punkty rankingowe w momencie rozpoczynania aktualnego meczu.

             ==============================================
             Team              R0       RR     PT  R1=R0+PT
             ==============================================
             Hiszpania       597,16  +21,02  -0,99   596,17
             Liechtenstein   576,14  -21,02  +0,99   577,13

Po zakończeniu spotkania dodajemy tylko punkty za wynik.

   ==================================================================================
  Team              R0       RR     PT   R1=R0+PT  W  PW   R2=R1+PW       PU=PT+PW  ==================================================================================
  Hiszpania       597,16  +21,02  -0,99   596,17   8  +1    597,17     -0,99+1=+0,01
  Liechtenstein   576,14  -21,02  +0,99   577,13   0  -1    576,13     +0,99-1=-0,01

  Hiszpania       597,16  +21,02  -0,99   596,17   0  -1    595,17     -0,99-1=-1,99
  Liechtenstein   576,14  -21,02  +0,99   577,13   1  +1    578,13     +0,99+1=+1,99

  Hiszpania       597,16  +21,02  -0,99   596,17   0   0    596,17     -0,99+0=-0,99
  Liechtenstein   576,14  -21,02  +0,99   577,13   0   0    577,13     +0,99+0=+0,99

 Jak widać z powyższego przykładu, drużyna bardzo silna rozrywając mecz z zespołem słabiutkim ryzykuje bardzo dużo. W razie zwycięstwa powiększy swój dorobek wyrażony w punktach rankingowych tylko minimalnie, zaś w pozostałych przypadkach straci sporo punktów rankingowych. Drużyna słabiutka ryzykuje niewiele. Stracić może tylko odrobinkę, zaś zyskać bardzo dużo. Zwycięstwo nad zespołem wyżej notowanym przynosi o wiele więcej zadowolenia niż wygrana z zespołem niżej notowanym. Natomiast porażka z zespołem niżej notowanym o wiele bardziej boli niż z przeciwnikiem wyżej notowanym. W rankingu Elo znajduje to proste odzwierciedlenie.

Najlepiej spisuje się ranking Elo w przypadku, gdy pojedynkują się drużyny o zbliżonej liczbie punktów rankingowych. Wtedy wielkość PT stanowi 10% różnicy różnicy punktów rankingowych pomiędzy tymi zespołami i jest bliska zera. W takin przypadku praktycznie liczyłyby się tylko punkty za wynik w meczu. Drużyna po wygranym meczu klasyfikowana byłaby prawie zawsze wyżej od ostatniego przeciwnika meczowego. O tym, który zespół jest silniejszy decydowałby zatem bezpośredni mecz. Czym więcej będzie takich będzie meczów, to system ten będzie stawał się tym bardziej wiarygodny. Do tego wniosku doszedłem po siedmioletnim okresie obserwacji zachowania się tego systemu.

 Na potwierdzenie tego faktu przytaczam aktualny przykład. Szwajcaria - Dania Bazylea 2019.03.26

==================================================================================
  Team              R0       RR     PT   R1=R0+PT  W  PW   R2=R1+PW       PU=PT+PW
==================================================================================

  Szwajcaria      594,66   +0,80  -0,08   594,58   1  +1    595,58     -0,08+1=+0,92
  Dania           593,86   -0,80  +0,08   593,94   0  -1    592,94     +0,08-1=-0,92

  Szwajcaria      594,66   +0,80  -0,08   594,58   3   0    594,58     -0,08+0=-0,08
  Dania           593,86   -0,80  +0,08   593,94   3   0    593,94     +0,08+0=+0,08

  Szwajcaria      594,66   +0,80  -0,08   594,58   0  -1    593,58     -0,08-1=-1,08
  Dania           593,86   -0,80  +0,08   593,94   1  +1    594,94     +0,08+1=+1,08

                                                  Mecze towarzyskie

Mecze towarzyskie to nie to samo co mecze o punkty i nie powinny być brane pod uwagę w klasyfikacji rankingowej. Z uwagi na to, że meczów o punkty jest malutko uznałem jednak, że lepiej będzie je uwzględniać w zestawieniach. Przyrost i ubytek (PU) punktów rankingowych w tym przypadku zmniejszałem dwukrotnie. Drużynie, w przypadku zwycięstwa w takich meczu przybywa punktów rankingowych, dwukrotnie mniej niż w meczu o punkty, ale przybywa. Nie ma mowy, ażeby za samo rozegranie meczu towarzyskiego drużynę czekał nieuchronny spadek liczby puntów. rankingowych tak jak to miało miejsce w poprzednim oficjalnym rankingu FIFA

                                   Dewaluacja wcześniej zdobytych punktów

Drużyna prowadząca w tabeli rankingowej ma za przeciwnika zespół, który ma prawie zawsze mniej punktów rankingowych, rzadko kiedy tyle samo. Dlatego prawie zawsze liderowi przed każdym meczem odejmuje trochę punktów rankingowych. Z podobnych powodów drużynie zajmującej ostatnie miejsce w tabeli, przed każdym meczem prawie zawsze dodaje się trochę punktów rankingowych. Im bardziej zwiększy się dystans drużyny - lidera od pozostałych, tym więcej punktów rankingowych odejmuje się jej przed meczem. Im bardziej zwiększy się dystans drużyny - out leadera od pozostałych, tym więcej punktów rankingowych dodaje się jej przed meczem. System zachowuje się podobnie do sprężyny. Im bardziej się ją rozciągnie, tym większa działa siła ściągająca.

Operacja z dodawaniem lub odejmowaniem punktów rankingowych w momencie rozpoczynania meczu skutkuje kurczeniem się tabeli rankingowej Powoduje to, że wyniki wszystkich wcześniej zakończonych meczów same się dewaluują. Nie trzeba wykonywać w tym celu żadnych obliczeń, jak to było w poprzednim oficjalnym rankingu FIFA. Można powiedzieć, że im później jest rozegrany mecz, tym wyżej jest punktowany.

Można wyciągnąć wniosek natury ogólniejszej a mianowicie, że system wykazuje tendencję do samoregulacji Jeżeli drużyna ma zaniżony ranking, to w przyszłości otrzymuje bardziej korzystny przelicznik uwzględniający siłę gry przeciwnika. I odwrotnie, jeżeli drużyna ma zawyżony ranking to w przyszłości przelicznik ten będzie mniejszy niż przy niezawyżonym

Przystępując do pracy nad moją wersją rankingu Elo, przy układaniu tabeli zależności nr 1 posłużyłem się dystrybuantą zmiennej losowej o rozkładzie normalnym i odchyleniu standardowym σ = 15,96. Przy tak małej liczbie rozgrywanych meczów w sezonie rozgrywanej przez drużyny narodowe, wydawało mi się, że system zbyt wolno reaguje na zmianę siły gry drużyny. Dlatego zmieniłem wartość odchylenia sztandarowego na σ = 7,98.

Dla czytelników, dla których to pojęcie jest nieznane, spróbuje przedstawić ten problem w inny sposób. Przyjrzyjmy się, jak będzie wyglądał procentowy przyrost lub ubytek punktów rankingowych(PU) w obu tych przypadkach w zależności od różnicy rankingów(RR) u przeciwników meczowych. Dla σ = 7,98 był już podany w tabeli nr 2, ale dla porównania przytoczę tę tabelkę jeszcze raz.

       Tabela nr 2a                Tabela nr 2b
       dla σ = 15,96               dla σ = 7,98
    ===================        ===================
         RR         PU               RR        PU
    ===================        ===================
    0.00 -  8.94   5.0%         0.00 -  4.47   10%
    8.95 - 16.31   4.5%         4.48 -  8.15    9%
   16.32 - 22.37   4.0%         8.16 - 11.18    8%
   22.38 - 28.48   3.5%        11.19 - 14.24    7%
   28.49 - 35.39   3.0%        14.25 - 17.69    6%
   35.41 - 44.19   2.5%        17.70 - 22.09    5%
   44.19 - 57,12   2.0%        22.10 - 28.56    4%

       schemat nr 1 

      ======= Rank1
      ------- Rank1-PU

      ------- Rank2+PU
      ======= Rank2

Jak widać z powyższych tabelek i schematu nr 1 w momencie rozpoczynania meczu różnica w rankingach u tych drużyn zmniejszy się o 2*PU. W pierwszym przypadku maksymalnie zmaleje o 10% wartości RR, a w drugim o 20% wartości RR. Skutek tego jest taki, że w tej drugiej sytuacji tabela rankingowa będzie trochę bardziej ścieśniona. Dalej w teksie przez MaxPU będę oznaczał największy ( a właściwie graniczny) przyrost lub ubytek punktów rankingowych przy remisowym wyniku w meczu lub w partii szachowej. Poniżej publikuję dwie tabelki rankingowe według stanu na dzień 26.03.2019 o różnych wartościach odchylenia standardowego.

            Tabela rankingowa                       Tabela rankingowa
          σ = 15.96 MaxPU = 5%                     σ = 7.98 MaxPU = 10%  
   ==================================      ==================================
   M-ce Drużyna               Ranking      M-ce Drużyna               Ranking
   ==================================      ==================================
     1. Brazylia               611,07        1. Francja                598,96
     2. Francja                610,01        2. Brazylia               598,68
     3. Belgia                 607,87        3. Belgia                 597,93
     4. Hiszpania              607,31        4. Anglia                 597,07
     5. Anglia                 606,12        5. Hiszpania              596,27
     6. Niemcy                 605,70        6. Niemcy                 595,51
     7. Portugalia             604,38        7. Holandia               595,00
     8. Holandia               602,76        8. Portugalia             594,73
     9. Argentyna              602,74        9. Szwajcaria             594,58
    10. Włochy                 602,18       10. Dania                  593,94
    11. Kolumbia               602,09       11. Włochy                 593,83
    12. Szwajcaria             601,58       12. Kolumbia               593,51
    13. Urugwaj                600,93       13. Urugwaj                593,13
    14. Chorwacja              600,73       14. Argentyna              592,88
    15. Dania                  599,89       15. Chorwacja              592,80
    16. Meksyk                 598,92       16. Ukraina                592,46
    17. Ukraina                598,72       17. Szwecja                592,36
    18. Iran                   598,45       18. Serbia                 592,09
    19. Szwecja                598,33       19. Bośnia i Hercegowina   591,37
    20. Chile                  598,21       20. Peru                   591,19
    21. Peru                   597,92       21. Polska                 591,04
    22. Polska                 597,49       22. Meksyk                 591,01
    23. Japonia                597,44       23. Walia                  590,89
    24. Serbia                 596,64       24. Rosja                  590,84
    25. Bośnia i Hercegowina   596,18       25. Iran                   590,83
    26. Rosja                  596,18       26. Wenezuela              590,82
    27. USA                    596,07       27. Japonia                590,76
    28. Korea Płd.             595,76       28. Katar                  590,36
    29. Walia                  595,03       29. Chile                  590,30
    30. Turcja                 594,67       30. Rumunia                590,18
   ..................................      ..................................
   201. Bryt. Wyspy Dziew.     549,47      201. Makao                  556,06
   202. Mongolia               549,38      202. Brunei                 555,89
   203. Dżibuti                549,35      203. Bhutan                 555,31
   204. Samoa                  548,11      204. Bryt. Wyspy Dziew.     554,62
   205. Brunei                 548,08      205. Montserrat             554,16
   206. Makao                  546,87      206. Dżibuti                553,41
   207. Bhutan                 545,57      207. Samoa                  549,92
   208. Wyspy Cooka            544,83      208. Anguilla               549,61
   209. Anguilla               544,21      209. Wyspy Cooka            547,00
   210. Tonga                  541,69      210. Tonga                  543,88
   211. Am. Samoa              532,62      211. Am. Samoa              537,32

Jak widać z załączonych powyżej zestawień, proces ścieśniania tabeli rankingowej odbywa się z większym skutkiem u góry niż u jej dołu. Nic nie dzieje się bez przyczyny. Zespoły z samego dołu tabeli rankingowej rozgrywają mecze bardzo rzadko. Różnica w punktach rankingowych pomiędzy liderem tabeli, a drużyną zajmującą 30 miejsce wynosi w pierwszym przypadku 16.40, a w drugim 8.78 punktów rankingowych.
Im większe jest MaxPu, to tym proces dewaluacji wcześniej zdobytych punktów przebiega tym szybciej. Gdybyśmy za MaxPu przyjęli wartość równą zero, to tego procesu w ogóle by nie było. Punkty zdobyte sto lat temu, przyniosłyby taki sam skutek jak uzyskane wczoraj. Natomiast, przy zbyt wysokim MaxPu, w tabeli rankingowej panowałby za duży tłok. Wynik ostatniego meczu mógłby skutkować przesunięciem danej drużyny o wiele miejsc w górę bądź w dół tabeli rankingowej.

Ustalenie optymalnych wartości odchylenia standardowego σ (MaxPU) nie jest sprawą prostą i powinni tym problemem zająć się statystycy. Ze mnie nie jest żaden statystyk. Na uczelni ze statystyki matematycznej miałem zaledwie kilka godzin zajęć i to blisko pół wieku temu.