Czytelnik, który chce dokładniej przyjrzeć się tematyce poruszonej poniżej, przed drugim czytaniem poniższego tekstu, powinien zapoznać się bliżej z szachowym z szachowym rankingiem Elo, Futbolowym Rankingiem Elo Boba Runyana, oraz rankingiem FIFA mężczyzn i kobiet. Szczegółowe opisy procedur naliczania punktów rankingowych w w/w odmianach systemu Elo zajęłyby mi tutaj dość dużo miejsca, sprawy drugorzędne czy trzeciorzędne przesłoniłyby najistotniejsze zagadnienia. Z łatwością można znaleźć je w internecie na stronach:
https://www.fide.com
i kolejno w zakładkach „FIDE/Handbook/FIDE/Rating/Regulations”,
https://www.eloratings.net,
https://www.fifa.com/ w zakładce „FIFA/Coca-Cola World Ranking”.

Poprzedni ranking FIFA z przed lipca 2018 roku.

Poprzedni ranking FIFA był trochę podobny do praktycznego rankingu stosowanym w tenisie. W tenisie waga turnieju ma bardzo ważne, fundamentalne znaczenie. Im bardziej prestiżowy i silniej obsadzony jest turniej, tym wyżej jest punktowany.

FIFA na obliczanie liczby punktów za pojedynczy mecz w swoim poprzednim rankingu stosowała wzór :

P = M x I x T x C

Oznaczenie zmiennych:

  • M - liczba punktów punktów przyznanych za mecz według schematu:

    • 3 - za zwycięstwo po 90 minutach lub po dogrywce;

    • 2 - za zwycięstwo w rzutach karnych;

    • 1 - za remis lub porażkę po rzutach karnych;

    • 0 - za porażkę po 90 minutach lub po dogrywce;

  • I - waga rozegranego meczu według schematu:

    • 1.0 - mecz towarzyski (także w ramach turniejów towarzyskich);

    • 2.5 - mecz w ramach eliminacji Mistrzostw Świata lub mistrzostw kontynentu;

    • 3.0 - mecz w finałach mistrzostw kontynentu lub w Pucharze Konfederacji;

    • 4.0 - mecz w finałach Mistrzostw Świata;

  • T - siła przeciwnika bazująca na jego aktualnej pozycji w rankingu:

    • 200 - jeśli rywal jest liderem ranknigu;

    • 200 - pozycja w rankingu - jeśli rywal zajmuje pozycję od 2. do 149.;

    • 50 - jeśli rywal znajduje się w rankingu na pozycji niższej niż 149.;

  • C - siła konfederacji. Siła ta jest obliczana na podstawie meczów ostatnich 3-ech finałów Mistrzostw Świata. Obecnie po MŚ 2014 w Brazylii wartości dla poszczególnych konfederacji prezentują się następująco:

    • 1.00 - CONMEBOL (Am. Południowa);

    • 0.99 - UEFA (Europa);

    • 0.85 - AFC (Azja), CAF (Afryka), CONCACAF (Am. Północna i Środkowa), OFC (Oceania);

Zmienne I, T, C mogą przyjmować tylko wartości dodatnie, M zaś nieujemne. Stąd można wyciągnąć prosty, ale za to bardzo ważny wniosek. Na wzroście wagi turnieju powinny skorzystać wszystkie uczestniczące w nim drużyny za wyjątkiem tych, które przegrają podczas jego trwania wszystkie mecze. Ale i ci ostatni nie powinni stracić na liczbie punktów rankingowych.. Waga turnieju (meczu) była bardzo ważnym, fundamentalnym czynnikiem poprzedniego rankingu FIFA.

Ranking FIDE

Systemowi temu przyjrzałem się dokładniej w rozdziale „Szachowy ranking Elo. Tutaj podaję tylko wzór na obliczanie liczby punktów rankingowych w pojedynczej partii szachowej.

Rn = R0 + K * (W-Wo)                                            (1)

gdzie:

Rn – ranking zawodnika po zakończeniu partii szachowej
R0 – ranking zawodnika bezpośrednio przed partią
W – faktyczny wynik punktowy w partii
(0, ½, 1)
Wo – oczekiwany wynik punktowy w partii [0.00–1.00]
K – współczynnik rozwoju szachisty (10,20,40)

Zatem wzór na przyrost lub ubytek (PU) liczby punktów rankingowych jest banalnie prosty

PU = K * (W-Wo)                                                    (2)

World Football Elo Ratings

Jako pierwszy szachowy ranking Elo do piłki nożnej przystosował w 1997 roku Bob Runyan. Wyniki swoich obliczeń zaczął publikować na stronie internetowej https://www.eloratings.net/. Był także pierwszym opiekunem strony World Football Elo Ratings, obecnie prowadzonej przez Kirilla Bulygina.

Punkty do tej wersji rankingu Elo wyliczane są ze wzoru

Rn = R0 + KG(W-We)                                                      (3)
lub P = KG(W-We)                                                           (4)          gdzie:

Rn – Punktacja po meczu
R0 – Punktacja przed meczem
K – Indeks ważności meczu
G – Indeks różnicy goli
W – Wynik meczu
We – Spodziewany wynik meczu
P – Zmiana punktacji

Jak widać wzory (2) i (4) niewiele różnią się od siebie. We wzorze (2) przez „K” oznaczony jest współczynnik rozwoju szachisty, a we wzorze (4) przez „K” indeks ważności (waga) meczu. W turniejach szachowych nikt bramek nie strzela, więc czynnik „G” oznaczający indeks różnicy goli we wzorze (2) nie występuje. Bob Runyan przyjął dokładnie taką samą punktację jaka obowiązuje w turniejach szachowych. Za zwycięstwo przyznawał 1 punkt, za remis 0,5 punktu a za porażkę 0 punktów. Przez „We” oznaczył spodziewany wynik meczu, ja przez „Wo” oznaczałem oczekiwany wynik w partii szachowej. Obie te zmienne oznaczają to samo pojęcie.

Prof. Elo do wyznaczania wartości „Wo” posłużył się dystrybuantą zmiennej losowej o rozkładzie normalnym i parametrach N(50%, 2000/7). Wartości tej krzywej nie da się dokładnie wyznaczyć przy pomocy funkcji elementarnych, dlatego do odczytywania wartości „Wo” posłużył się tablicami. Tablice te są zamieszczone w zakładce „Szachowy ranking Elo”. Wykres w/w dystrybuanty zamieszony jest poniżej kolorem białym.

Bob Runyan przy obliczaniu wartości „We” korzystał z funkcji, której wykres jest zbliżony do wykresu w/w dystrybuanty. Wykres i wzór na jej obliczanie przedstawiony jest powyżej kolorem niebieskim. W rankingu tym uwzględniona jest również przewaga drużyny gospodarzy poprzez zwiększenie różnicy rankingów „dr” o 100 pkt. Krzywa na powyższym wykresie po takiej modyfikacji przedstawiona jest kolorem żółtym.
We wzorze (2) na obliczanie liczby punktów rankingowych zmienna „K” oznacza współczynnik rozwoju szachisty, a we wzorze (4) wagę turnieju. W tym drugim przypadku rozróżniono 5 typów meczów. Szczegóły przedstawia poniższa tabela.

=============================================================
 Turniej lub typ meczu                              Indeks(k)  =============================================================
Finały Mistrzostw Świata                                  60

Mistrzostwa kontynentalne i międzykontynentalne           50
Eliminacje do Mistrzostw Świata lub kontynentalnych       40
Pozostałe turnieje                                        30
Mecze towarzyskie                                         20

W poprzednim rankingu FIFA waga turnieju miała bardzo ważne, fundamentalne znaczenie. Na początku lat dziewięćdziesiątych ubiegłego wieku, kiedy to zaczęto wprowadzać ranking FIFA nie stosowano tego czynnika. Wiarygodność tego rankingu była tak niska, że naruszało to powagę tego zestawienia. Czym większa była waga turnieju, tym większa była suma punktów rankingowych u wszystkich drużyn uczestniczących w Finałach Mistrzostw Świata czy w mistrzostwach kontynentalnych.

Zupełnie inaczej ta sprawa przedstawia się w futbolowym rankingu Elo opracowanym przez Runyana. Punkty rankingowe bilansują się tutaj jak u księgowego. O ile wzrośnie liczba punktów rankingowych u jednej z drużyn, to dokładnie o tyle samo zmaleje u jego przeciwnika meczowego. Poniżej zamieszczam kilka przykładów, pobranych ze strony internetowej https://www.eloratings.net/. Przez PU oznaczyłem przyrost lub ubytek liczby punktów rankingowych,

=============================================
 Date        Match          Results Tournament                 PU   
=========================================================
Sun         United States      0   CONCACAF Championship     -25
Jul 7       Mexico             1   in the United States      +25

Saturday    Egypt              0   African Nations Cup       -40
July 6      South Africa       1   in Egypt                  +40

Thursday    Brazil             0   Copa América              -22
June 27     Paraguay           0   in Brazil                 +22

Thursday    Turkey             2   Friendly                   +5
May 30      Greece             1   in Turkey                  -5

Friday      North Macedonia    0   European Championship     -12
June 7      Poland             1   qualifier in N. Maced.    +12

Suma punktów rankingowych u wszystkich drużyn uczestniczących w Finałach Mistrzostw Świata czy w mistrzostwach kontynentalnych po turnieju musi być dokładnie taka sama jak bezpośrednio przed jego rozpoczęciem niezależnie od wagi turnieju. W poprzednim oficjalnym rankingu FIFA wzrost wagi turnieju pociągał za sobą również wzrost liczby punktów rankingowych u niemal wszystkich uczestników Finałów Mistrzostw Świata. Natomiast w rankingu Elo wzrost wagi turnieju wywoła całkiem odmienne skutki. Uszczęśliwi tylko część drużyn, druga zaś ich część będzie poszkodowana. Ażeby najbardziej klarownie przedstawić ten fakt uzupełnijmy powyższe zestawienie o jeszcze jedną rubrykę – „PU1”. W rubryce tej podany jest przyrost lub ubytek liczby punktów rankingowych, gdyby ten mecz został rozegrany podczas Finałów Mistrzostw Świata.

======================================================================
Date        Match          Results Tournament                 PU   PU1
======================================================================
Sun         United States      0   CONCACAF Championship     -25   -30
Jul 7       Mexico             1   in the United States      +25   +30  

Saturday    Egypt              0   African Nations Cup       -40   -48
July 6      South Africa       1   in Egypt                  +40   +48

Thursday    Brazil             0   Copa América              -22   -27
June 27     Paraguay           0   in Brazil                 +22   +27

Thursday    Turkey             2   Friendly                   +5   +15
May 30      Greece             1   in Turkey                  -5   -15

Friday      North Macedonia    0   European Championship     -12   -18
June 7      Poland             1   qualifier in N. Maced.    +12   +18

W Wikipedii, w artykule opisującym World Football Elo Ratings można przeczytać, że system ten stosowany jest do określenia mocy reprezentacji narodowych w piłce nożnej. Faktycznie w czystym rankingu Elo, bez stosowania pojęcia wagi meczu, punkty rankingowe stanowią tylko relatywną i tylko przybliżoną miarę siły gry drużyny. Gdy do obliczeń weźmiemy dostatecznie dużą ilość wyników meczowych, to margines popełnianego błędu obliczeniowego jest zazwyczaj bardzo wąski.

Dołączając do swojego rankingu wagę turnieju, Runyan pomieszał dwa systemy rankingowe: praktyczny stosowany w tenisie i poprzednim oficjalnym rankingu FIFA z naukowym opracowanym przez prof. Elo. Uwzględnienie wagi turnieju nie tylko nie poprawia wiarygodności rankingu Elo, ale jest dokładnie odwrotnie - wypacza ją. Ponadto komplikuje znacznie naliczanie punktów rankingowych.

Czym większe wartości we wzorze (Rn = R0 + KG(W-We)) na obliczanie tego rankingu podstawimy za zmienną „K” reprezentującą wagę meczu, to tym różnice Rn u poszczególnych drużyn będą tym większe. Najbardziej wypaczona jest liczba punktów rankingowych, która powinna odzwierciedlać miarę siłę gry drużyny, na samej górze tabeli rankingowej.

W szachowym rankingu Elo współczynnik rozwoju szachisty „K” komplikuje i to w dużym stopniu obliczanie liczby punktów rankingowych. Podobnie zachowuje się współczynnik oznaczający wagę turnieju w futbolowym rankingu Elo. Im więcej różnych wartości określających wagę turnieju ten system będzie przyjmował, to tym bardziej będzie skomplikowany i mniej wiarygodny. W oryginalnej wersji systemu rankingowego Elo dla szachistów pojęcie wagi turnieju nie występuje. Ja w swoim futbolowym rankingu Elo, w wersji dla drużyn klubowych, taki czynnik jak waga meczu pominąłem całkowicie. Natomiast w wersji dla reprezentacji narodowych, rozróżniłem tylko dwa rodzaje meczów: mecze o punkty i mecze towarzyskie.

Bob Runyan dołączył do swojej wersji systemu Elo taki czynnik jak różnica bramek. We wzorze Rn = R0 + KG(W-We) oznaczony jest literką „G”. Uwzględnienie różnicy bramek w meczu powinno poprawić wiarygodność tego systemu rankingowego. Zwycięstwo 6-0 to nie to samo co 1-0. To drugie może być szczęśliwe lub przypadkowe. W Futbolowym Rankingu Elo Boba Runyana punkty rankingowe są uzależnione od różnicy goli w meczu w sposób liniowy (powyżej trzech) i dlatego nie są ograniczone od góry. Nie jest to dobre rozwiązanie W dnu 11.04.2001 roku odbył się w ramach kwalifikacji do Mistrzostw Świata FIFA mecz Australia – Amerykańskie Samoa zakończony wynikiem 31-0. Przyczyną tak wysokiego wyniku była w większym stopniu słabiutka postawa zespołu gości niż dobra gra Australijczyków. Lepiej ta kwestia rozwiązana jest w oficjalnym rankingu FIFA kobiet. Im różnica bramek jest większa tym kolejne gole są niżej punktowane.

Oficjalny ranking FIFA kobiet (WWR).

Ranking ten FIFA zaczęła publikować w 2003 roku. Metodologia naliczania punktów rankingowych jest podobna do tej jaką zastosował w swoim rankingu Runyana. Uwzględnione są te same kryteria, a mianowicie: wynik meczu, miejsce rozegrania meczu (u siebie, u przeciwnika czy na terenie neutralnym), ważność (waga) meczu, różnica punktów rankingowych i różnica bramek w meczu. Różnica bramek jest tutaj liczona w sposób nieliniowy. Czym dalej jest od wyniku remisowego, tym kolejne bramki są tym niżej punktowane, a powyżej 6 zupełnie nie mają wpływu na liczbę punktów rankingowych. Ranking ten uwzględnia również liczbę strzelonych goli. Za zwycięstwo 2-1 drużyna otrzymuje troszeńkę więcej punktów rankingowych niż za zwycięstwo 4-3. Nie jest to dobry pomysł. Wiarygodności systemu rankingowego nie poprawia, a tylko niepotrzebnie komplikuje naliczanie punktów rankingowych.

Oficjalny ranking FIFA mężczyzn (FWR)

W czerwcu 2018 roku Międzynarodowa Federacja Piłki Nożnej–FIFA nareszcie zdecydowała się zmienić metodę naliczania punktów w rankingu dla reprezentacji narodowych. Nowy model do obliczania światowego rankingu FIFA/Coca-Cola (FWR) w dużym stopniu jest oparty na szachowym rankingu Elo. Jak twierdzi FIFA na swojej stronie internetowej, został on opracowany w ciągu dwóch lat, podczas których przetestowano i szeroko omówiono wiele różnych algorytmów.

Pominięto w nim to co było dobre w rankingu Runyana, czyli miejsca rozegrania meczu (u siebie, na wyjeździe czy terenie neutralnym) i różnicę bramek, natomiast rozbudowano to co było w nim złe czyli ważność (wagę) turnieju.

Bob Runyan rozróżnił 5 typów meczów, FIFA aż 9. Są to nawyki myślenia przejęte z poprzedniej szkoły tworzenia systemów rankingowych, w której czym wyższej rangi był turniej, tym mecze były w nim wyżej punktowane. Najwidoczniej twórcy ostatniej wersji rankingu FIFA zbyt długo posługiwali się metodami stosowanymi w praktycznym systemie rankingowym. Zadziałała tu siła bezwładności ludzkiego myślenia.

Taka to właśnie siła bezwładności ludzkiego myślenia działała na niektórych matematyków w XVII i w XVIII stuleciu. W wyszukiwarce internetowej wpisałem hasło „historia liczby” i w Wikipedii znalazłem następujące takie to oto trzy zdania:

...„Dopiero w XVII wieku zero było powszechnie rozpoznawane jako liczba w Europie".

... „Aż do XVIII wieku powszechnie nie uznawano liczb ujemnych i odrzucano ujemne rozwiązania równań jako nie posiadające interpretacji”.

… „W Europie jednak zapis dziesiętny ułamków długo nie był popularny, dopiero w XVII wieku upowszechnił się wśród matematyków”.

FIFA podczas ostatniej reformy wprowadziła przepisy na mocy, których do rankingu drużyny nie wlicza się meczu rozegranego w fazie pucharowej mistrzostw kontynentalnych lub Mistrzostw Świata, jeżeli uwzględnienie tego meczu spowodowałoby obniżenie punktacji danej drużyny. Warunek został wprowadzony w celu ochrony sum punktów drużyn, które przeszły do rundy pucharowej. Suma punktów rankingowych u wszystkich uczestników wyżej wymienionych turniejów, dzięki tym przepisom musi wzrosnąć.

W czerwcu i lipcu 2019 roku w Brazylii rozgrywany był turniej „Copa America”. Uwzględnienie wyników tego turnieju z zastosowaniem w/w przepisu, stawia zespoły z Ameryki Południowej w uprzywilejowanej pozycji do drużyn z Europy. Wprowadzenie tego przepisu spowoduje, że po każdych finałach mistrzostw kontynentalnych i Finałach Mistrzostw Świata, nastąpi wzrost sumy punktów na całej liście rankingowej FIFA. Stanie się to przyczyną powolnej inflacji tego rankingu. Najwyraźniej ten proces będzie można zauważyć na samej górze tabeli rankingowej.

Przepisy, które zabraniają obniżać liczbę punktów rankingowych drużynom w fazie pucharowej mistrzostw kontynentalnych lub Mistrzostw Świata są sprzeczne z logiką systemu rankingowego Elo. Są zupełnie niepotrzebne. Zamiast poprawiać wiarygodność tego rankingu, tylko ją wypaczają. Szerzej ten temat omawiam w rozdziale „Statystyka finałów”.

System pucharowy jest najmniej sprawiedliwym, najbardziej loteryjnym ze wszystkich sensownych systemów rozgrywek. Niektóre drużyny na niższym szczeblu mają znacznie silniejszych przeciwników niż inne na wyższym. System rankingowy Elo jest o wiele bardziej wiarygodny od systemu pucharowego i nie powinno się dopasowywać go do wyników w fazie pucharowej.

Również nie podoba mi się sposób punktowania meczów rozstrzyganych przy pomocy serii rzutów karnych. Przyrost lub ubytek liczby punktów rankingowych (PU) w aktualnym oficjalnym rankingu FIFA obliczamy wg wzoru

PU =  I * (W – We)
gdzie

I ważność (waga) meczu

W - Wynik punktowy punktowy (0, ½, 1)

Wo – oczekiwany wynik punktowy [0.00–1.00]

W przypadku wyniku rozstrzygniętego, zwycięzca otrzymuje jeden punkt, a przegrany zero punktów. Natomiast, gdy mecz zakończył się remisem, a po jego zakończeniu odbyła się seria rzutów karnych, zwycięzcy serii wlicza  W = 0. 75, zaś przegranemu W = 0. 5. W pierwszym przypadku obydwa zespoły zarobią w sumie tylko 1 pkt, w drugim aż 1.25 pkt. Przy wysokiej wadze meczu (I) i dużej różnicy (W-We) może to znacznie wypaczyć tabelę rankingową. Wg mnie znacznie prostsze i bardziej sprawiedliwe jest w takim przypadku rozwiązanie, przyznające obydwom zespołom po ½ punktu.