W czasach studenckich grywałem trochę w szachy, zapisałem się nawet do Krakowskiego Klubu Szachistów. Na sukcesy było już za późno. Pierwszą partię turniejową z poważnym przeciwnikiem rozegrałem dopiero w wieku 19 lat. Po zakończeniu studiów zamieszkałem w Kielcach, gdzie życie szachowe funkcjonowało słabiutko i grałem w turniejach tylko na ćwierć gwizdka. W połowie lat dziewięćdziesiątych ubiegłego wieku, ze względu na kłopoty rodzinne wycofałem się z szachów i to całkowicie.

Systemem rankingowym Elo zacząłem się interesować jeszcze pod koniec lat sześćdziesiątych ubiegłego wieku, kiedy to studiowałem matematykę na UJ-cie. Miałem więc mnóstwo czasu, ażeby temu systemowi dokładnie się przyjrzeć od strony matematycznej. Obecnie, kiedy jestem już na emeryturze, a najgorszą dla mnie karą jest bezczynność, postanowiłem powrócić do tego tematu.

Całą filozofię swojego pomysłu prof. Elo przedstawił w jednym zdaniu „Jeśli zawodnik w turnieju uzyskał wynik lepszy od oczekiwanego, jego ranking powinien wzrosnąć, jeśli gorszy–zmaleć.

Na obliczanie tego rankingu prof. Elo podał wzór

 Rn = R0 + K * (W-Wo)                                                   (1)         gdzie:


 Rn – ranking zawodnika po turnieju
 R0 – ranking zawodnika w momencie rozpoczynania turnieju
Wo – oczekiwany wynik punktowy zawodnika w turnieju
W  – faktyczny wynik punktowy zawodnika w turnieju,
K  – współczynnik rozwoju szachisty

Prof. Elo projektując ten system ograniczył zakres rankingów od 2200 do 2700 i przyjął k=10, najprawdopodobniej tylko po to, ażeby punkty rankingowe były przedstawiane w postaci liczb całkowitych. W turniejach szachowych zawodnik za zwycięstwo otrzymuje 1 punkt, za remis ½ punktu, a za przegraną 0 punktów. W celu wyznaczenia R0 należało najpierw obliczyć średni ranking (Rsr) przeciwników danego zawodnika, a następnie na podstawie różnicy rankingu własnego i średniego rankingu przeciwników (Rsr) wyznaczyć procentowy wynik oczekiwany wg specjalnie ułożonej w tym celu tabeli zależności.

                         Tabela zależności nr 1
  ===================================================================
  Rpc-Rsr PW PN    Rpc-Rsr  PW PN    Rpc-Rsr  PW PN    Rpc-Rsr  PW PN  
  ===================================================================
    0- 3  50 50     92- 98  63 37    198-206  76 24    345-357  89 11
    4-10  51 49     99-106  64 36    207-215  77 23    358-374  90 10
   11-17  52 48    107-113  65 35    216-225  78 22    375-391  91  9
   18-25  53 47    114-121  66 34    226-235  79 21    392-411  92  8
   26-32  54 46    122-129  67 33    236-245  80 20    412-432  93  7
   33-39  55 45    130-137  68 32    246-256  81 19    433-456  94  6
   40-46  56 44    138-145  69 31    257-267  82 18    457-484  95  5
   47-53  57 43    146-153  70 30    268-278  83 17    485-517  96  4
   54-61  58 42    154-162  71 29    279-290  84 16    518-559  97  3
   62-68  59 41    163-170  72 28    291-302  85 15    560-619  98  2
   69-76  60 40    171-179  73 27    303-315  86 14    620-735  99  1
   77-83  61 39    180-188  74 26    316-328  87 13    736-    100  0  
   84-91  62 38    189-197  75 25    329-344  88 12

Rozwiązanie to miało jednak ukrytą wadę. Niekiedy, niektórzy przeciwnicy danego zawodnika zaniżali w wysokim stopniu jego Rsr. Zamiast wpisywać do tabeli rankingowej punkty za wygraną partię ze słabeuszem, niekiedy lepiej kalkulowało się ten rezultat pominąć. Słabeuszowi na odwrót, czasami nawet przegrana w takim przypadku zwiększała liczbę punktów rankingowych. Ażeby ten paradoks zlikwidować zmieniono sposób naliczania punktów rankingowych. Pierwotnie liczono przyrost lub ubytek punktów rankingowych (PU = K * (W–W0) po zakończeniu turnieju lub na koniec okresu obliczeniowego przy pomocy średniego rankingu przeciwników(Rśr).

Obecnie wg przepisów rankingowych FIDE obowiązujących od 1 lipca 2017 r (http://www.fide.com/fide/handbook.html? ... ew=article) możemy obliczać PU natychmiast po każdej zakończonej partii i na bieżąco podsumowywać punkty rankingowe. W przepisach tych w punkcie 8.1b można znaleźć tabelę zależności odpowiadającą wspomnianej powyżej. Różnica polega jedynie na tym, że w tej pierwszej oczekiwany wynik punktowy podany jest w procentach, a w tej drugiej w postaci ułamka z zakresu [0..1]. Tabelę tę przytaczam poniżej.

Tabela nr 2 ( nr 8.1 (b))

Tabela konwersji różnicy w ratingu D, na prawdopodobieństwo punktacji PD, odpowiednio dla gracza wyżej ocenianego H i niżej ocenianego L.

 ==========================================================================================
    RR     PW    PN        RR      PW    PN        RR      PW    PN        RR      PW    PN   
  ==========================================================================================
    0- 3  0.50  0.50      92- 98  0.63  0.37     198-206  0.76  0.24     345-357  0.89  0.11
    4-10  0.51  0.49      99-106  0.64  0.36     207-215  0.77  0.23     358-374  0.90  0.10
   11-17  0.52  0.48     107-113  0.65  0.35     216-225  0.78  0.22     375-391  0.91  0.09
   18-25  0.53  0.47     114-121  0.66  0.34     226-235  0.79  0.21     392-411  0.92  0.08
   26-32  0.54  0.46     122-129  0.67  0.33     236-245  0.80  0.20     412-432  0.93  0.07
   33-39  0.55  0.45     130-137  0.68  0.32     246-256  0.81  0.19     433-456  0.94  0.06
   40-46  0.56  0.44     138-145  0.69  0.31     257-267  0.82  0.18     457-484  0.95  0.05
   47-53  0.57  0.43     146-153  0.70  0.30     268-278  0.83  0.17     485-517  0.96  0.04
   54-61  0.58  0.42     154-162  0.71  0.29     279-290  0.84  0.16     518-559  0.97  0.03
   62-68  0.59  0.41     163-170  0.72  0.28     291-302  0.85  0.15     560-619  0.98  0.02
   69-76  0.60  0.40     171-179  0.73  0.27     303-315  0.86  0.14     620-735  0.99  0.01
   77-83  0.61  0.39     180-188  0.74  0.26     316-328  0.87  0.13     736-1.00
   84-91  0.62  0.38     189-197  0.75  0.25     329-344  0.88  0.12

Dalej w punkcie 8.5 tych przepisów podany jest sposób, w jaki powinna zmieniać się liczba punktów rankingowych (LPR) u ocenianego zawodnika. Poniżej przytaczam tylko najistotniejsze pozycje tych przepisów.

8.51 W przypadku każdej gry przeciwko ocenianemu zawodnikowi     należy określić różnicę w rankingu między graczem a jego przeciwnikiem, D.

8.55 (a) Użyj tabeli 8.1 (b), aby określić prawdopodobieństwo PD gracza

         (b) ΔR = wynik PD. Dla każdej gry wynik wynosi 1, 0.5 lub 0.

        (c)  RΔR x K = zmiana oceny dla danego turnieju lub okresu oceny, gdzie K jest
              współczynnikiem rozwoju szachisty.
Obecnie może on przybierać wartości 10,20,40.

Jak korzystać z powyższej tabeli i w/w przepisów najprościej i najbardziej klarownie jest to objaśnić na konkretnym przykładzie. Dla ustalenia uwagi przyjmijmy na razie, że współczynnik k = 10. Dokładniej temu współczynnikowi przyjrzymy się trochę później.

Niech zawodnicy Z1 i Z2 spotykają się przy szachownicy. Przyjmijmy, że w momencie rozpoczynania partii ranking zawodnika Z1 wynosi 2700, a zawodnik Z2 posiada ranking 2500. Na podstawie punktu 8,51 obliczamy różnicę punktów rankingowych RR, która w tym przypadku wynosi 200. W tabeli tej znajdujemy wiersz 198-206. W tym to właśnie przedziale mieści się liczba 200. Po prawej stronie tych wartości odnajdujemy liczby 0.76 i 0.24. Oznaczają one, że gdyby zawodnicy rozegrali pomiędzy sobą mecz złożony ze 100 partii, to oczekiwanym wynikiem powinien być rezultat 76:24 na korzyść zawodnika Z1, czyli średnio, w każdej jednej partii zawodnik Z1 powinien zdobywać 0.76 pkt, a gracz Z2 tylko 0.24 pkt. I to jest właśnie prawdopodobieństwo PD odpowiednio dla graczy Z1 i Z2 w pojedynczej partii, o którym jest mowa w punkcie 8.55a przepisów FIDE.

Po wprowadzeniu w/w przepisów w życie pojawiła się możliwość obliczaczania liczby punktów rankingowych natychmiast po każdej zakończonej partii.
W tym celu należy zastąpić punkty 8.55(b) i 8.55(c) odpowiednio punktami 8.55(b') i 8.55(c'). Przez PU1 oznaczyłęm przyrost/ubytek punktów rankingowych w pojedynczej partii.
8.55 (b') PU1 = ΔR * K = (wynik – PD) * K.
        (c') PU = ΣPU1
Będziemy mogli bardzo łatwo na bieżąco podsumowywać punkty rankingowe. Obliczenia te należy prowadzić z dokładnością do jednego znaku po przecinku i zaokrąglić dopiero na końcu turnieju, lub ocenianego okresu.

A teraz przyjrzyjmy się dokładniej jak zmienia się się LPR u zawodników Z1 i Z2 przy zastosowaniu przepisu 8.55b'. Zamiast symbolu ΔR używam symbolu PU, który oznacza przyrost lub ubytek punktów rankingowych. Wynik punktowy oznaczam symbolem „W”.

                   Przykład nr 1
     =========================================
     Gracz Z1     W     PD     PU=WPD   k*PU
     ==========================================
     wygrana     1.0   0.76     +0.24    +2.4
     remis       0.5   0.76     0.26    2.6
     przegrana   0.0   0.76     0.76    7.6

 

     =========================================
     Gracz Z2     W     PD     PU=WPD   k*PU
     ==========================================
     wygrana     1.0   0.24     +0.76    +7.6
     remis       0.5   0.24     +0.26    +2.6
     przegrana   0.0   0.24     0.24    –2.4

Jak widać, każdy z zawodników Z1 i Z2 miałby w przypadku wygranej o 5 (ogólnie o k/2) punktów rankingowych więcej niż w przypadku remisu, a w przypadku przegranej o 5 (ogólnie o k/2) punktów rankingowych mniej niż w przypadku remisu.

Zatem nic prostszego, zakładamy przed rozpoczęciem partii, że padnie w niej wynik remisowy i obliczamy ranking przy tym właśnie wyniku. Jeśli partia ta zakończy się wynikiem remisowym, to nie musimy już nic robić. Wszystko mamy już policzone. W przeciwnym przypadku, zwycięzcy dopisujemy 5 (ogólnie k/2) punktów rankingowych, a jego przeciwnikowi tyle samo odejmujemy.

A zadane to możemy sobie jeszcze ułatwić. Korzystając z tabeli nr 2 układamy sobie poniższą, w której przez PUR oznaczyłem przyrost lub ubytek punktów rankingowych przy remisowym zakończeniu partii w zależności od różnicy rankingów(RR). Zamiast wyliczać wynik przy remisowym zakończeniu partii, możemy go tylko odczytywać z poniższej tabelki.

                        Tabela zależności nr 3
  =========================================================================
    RR     PUR          RR     PUR          RR     PUR          RR     PUR
  =========================================================================
    0- 3   0.0        92- 98   1.3       198-206   2.6       345-357   3.9
    4-10   0.1        99-106   1.4       207-215   2.7       358-374   4.0
   11-17   0.2       107-113   1.5       216-225   2.8       375-391   4.1
   18-25   0.3       114-121   1.6       226-235   2.9       392-411   4.2
   26-32   0.4       122-129   1.7       236-245   3.0       412-432   4.3
   33-39   0.5       130-137   1.8       246-256   3.1       433-456   4.4
   40-46   0.6       138-145   1.9       257-267   3.2       457-484   4.5
   47-53   0.7       146-153   2.0       268-278   3.3       485-517   4.6
   54-61   0.8       154-162   2.1       279-290   3.4       518-559   4.7
   62-68   0.9       163-170   2.2       291-302   3.5       560-619   4.8
   69-76   1.0       171-179   2.3       303-315   3.6       620-735   4.9
   77-83   1.1       180-188   2.4       316-328   3.7       736-      5.0
   84-91   1.2       189-197   2.5       329-344   3.8

 Zamiast stosować formułę „Jeśli zawodnik w turnieju uzyskał wynik lepszy od oczekiwanego, jego ranking powinien wzrosnąć, jeśli gorszy - zmaleć" o wiele wygodniej jest stosować poniższą równoważną formułę:

 Jeśli zawodnik spotyka się z zawodnikiem wyżej klasyfikowanym, to w momencie rozpoczęcia partii szachowej dodaję mu trochę (na podstawie tabeli nr 3) punktów rankingowych, a jeżeli z niżej to tyle samo odejmuję. Są to punkty uwzględniające siłę gry przeciwnika (PD).

 Po zakończonym pojedynku zwycięzcy dodaję 5 (ogólnie k/2) punktów rankingowych, a pokonanemu tyle samo odejmuję. Będą to punkty uzyskane za wynik w partii.

A teraz powróćmy do przykładu nr 1 i przedstawmy go w formie graficznej

      Gracz Z1
     =======  Rank1 = 2700
     -------  R1 = 2700-2.6=2697.4
                                          RR=Rank1-Rank2 = 200
                                          1.29% z 200 to jest 2.58 ≈ 2.6

    -------  R2 = 2500+2.6=2502.6
    =======  Rank2 = 2500
    Gracz Z2

W momencie rozpoczynania gry, gracz o niższym rankingu otrzymuje troszeczkę (PUR) punktów rankingowych od przeciwnika. W przedstawionym powyżej przykładzie to „trochę” wynosi 2.6 punktu rankingowego i stanowi tylko 1.29% różnicy rankingów (RR) pomiędzy tymi dwoma przeciwnikami. W sumie różnica RR zmaleje o 5.2 pkt. co stanowi 2.58% wartości RR.

Po każdej zakończonej partii zawodnik wygrywający otrzymuje 5  (ogólnie k/2) punktów rankingowych od przegranego.W sumie za zwycięstwo nad przeciwnikiem wyżej notowanym ranking danego gracza wzrośnie od 5 do 10 (ogólnie od k/2 do k) punktów rankingowych, a za wygraną z rywalem niżej notowanym od 0 do 5 (ogólnie od 0 do k/2). Za przegraną z przeciwnikiem niżej notowanym gracz w sumie traci od 5 do 10 (ogólnie od k/2 do k) punktów rankingowych, a z wyżej tylko od 0 do 5  (ogólnie od 0 do k/2) W przypadku remisu, gracz o wyższym rankingu straci od 0 do 5 (ogólnie od 0 do k/2) punktów rankingowych, a gracz o niższym tyle samo zyska. Przy współczynniku rozwoju k=20 i k=40 wielkości występujące w rubryce PUR w tabeli zależności nr 3, należy odpowiednio pomnożyć przez 2 i przez 4.

Przy zastosowaniu zaproponowanego powyżej sposobu naliczania punktów rankingowych rywalizacja w nim będzie podobna do tej w turnieju nie tylko szachowym. System Elo będzie wtedy bardziej transparentny i naturalny. Można będzie wtedy o wiele lepiej zrozumieć funkcjonowanie tego systemu, a co najważniejsze będzie można łatwiej wyśledzić jego niedoskonałości i znaleźć na nie lekarstwo. System rankingowy Elo w wersji podanej powyżej da się bardzo łatwo zaadoptować do wielu innych dyscyplin sportowych. Dowiedziałem się niedawno z Internetu, że Międzynarodowa Federacja Szachowa (FIDE) rozpoczęła kampanię, której celem jest wprowadzenie tej dyscypliny do programu igrzysk olimpijskich w Paryżu w 2024 r. Wzrost popularności rankingu Elo może jej w tym tylko pomóc.

                                              Przykład

A teraz sprawdźmy jak zaproponowana przeze mnie metoda funkcjonuje w praktyce na przykładzie ostatniego turnieju pretendentów, rozegranego w Berlinie w dniach 10-27 marca 2018 roku. Wyniki tego turnieju oraz rankingi zawodników przed turniejem i po tym turnieju podane są na stronie internetowej https://www.chess.com/pl/news/view/caruana-wygrywa-turniej-kandydatow-fide-2561 w tabelce zatytułowanej „Rankingi na żywo”. Można je zatem skonfrontować z obliczeniami zamieszczonymi poniżej.

Większość obliczeń wg zaproponowanego przeze mnie sposobu możemy dokonać bezpośrednio przed rozpoczęciem turnieju. Ponieważ ranking początkowy u wszystkich zawodników jest stały i obowiązuje przez cały czas trwania turnieju, możemy wyliczyć różnice rankingowe pomiędzy jego uczestnikami. Podane są w poniższej tabelce.

                                 Tabela nr TK1

 ================================================================
 Lp Nazwisko      RankP    Ma   Kr   So   Ar   Ca   Di   Gr   Ka
 ================================================================
 1. Mamedyarov S.  2809    xx    9   10   15   25   40   42   46
 2. Kramnik V.     2800    -9   xx    1    6   16   31   33   37
 3. So W.          2799   -10   -1   xx    5   15   30   32   36
 4. Aronian L.     2794   -15   -6   -5   xx   10   25   27   31
 5. Caruana F.     2784   -25  -16  -15  -10   xx   15   17   21
 6. Ding L.        2769   -40  -31  -30  -25  -15   xx    2    6
 7. Grischuk A.    2767   -42  -33  -32  -27  -17   -2   xx    4
 8. Karjakin S.    2763   -46  -37  -36  -31  -21   -6   -4   xx

Korzystając z tabel nr 3 i nr TK1 możemy wyznaczyć PU w momencie rozpoczynania każdej partii szachowej rozegranej w tym turnieju. Zamieszczony on jest w poniższej tabelce.

                                       Tabela nr TK2

 =============================================================================
 Lp Nazwisko      RankP    Ma   Kr   So   Ar   Ca   Di   Gr   Ka     PU   2*PU
 =============================================================================
 1. Mamedyarov S.  2809   xxx -0.1 -0.1 -0.2 -0.3 -0.6 -0.6 -0.6   -2.5  -5.0
 2. Kramnik V.     2800   0.1  xxx  0.0 -0.1 -0.2 -0.4 -0.5 -0.5   -1.6  -3.2
 3. So W.          2799   0.1  0.0  xxx -0.1 -0.2 -0.4 -0.4 -0.5   -1.5  -3.0
 4. Aronian L.     2794   0.2  0.1  0.1  xxx -0.1 -0.3 -0.4 -0.4   -0.8  -1.6
 5. Caruana F.     2784   0.3  0.2  0.2  0.1  xxx -0.2 -0.2 -0.3    0.1   0.2
 6. Ding L.        2769   0.6  0.4  0.4  0.3  0.2  xxx  0.0 -0.1    1.8   3.6
 7. Grischuk A.    2767   0.6  0.5  0.4  0.4  0.2  0.0  xxx -0.1    2.0   4.0
 8. Karjakin S.    2763   0.6  0.5  0.5  0.4  0.3  0.1  0.1  xxx    2.5   5.0

Ponieważ turniej ten był dwukołowy całkowity przyrost/ubytek punktów rankingowych podany jest w rubryce 2*PU. Tabela nr TK3 zawiera podsumowanie całego turnieju. Podaję znaczenie poszczególnych kolumn.

  • RankP – ranking zawodników w momencie rozpoczynania turnieju.

  • PU1 – Przyrost/ubytek punktów rankingowych wyznaczony przy pomocy różnicy rankingów. Rubryka PU1 zawiera przepisane wielkości z rubryki 2*PU z tabeli nr 5.

  • Rank1 = RankP + PU1. Warto zwrócić uwagę na to że, kolejność miejsc wyznaczonych rankingów RankP i Rank1 jest identyczna z dokładnością co do zaokrągleń. Tabelka wyznaczona przy pomocy kolumny Rank1 jest bardziej ścieśniona niż ta ustalona przy pomocy rubryki RankP.

  • Pkt – punkty zdobyte przez danego zawodnika w całym turnieju.

  • Z – P - bilans zwycięstw i porażek.

  • PU2 – punkty rankingowe uzyskane na podstawie wyniku punktowego.

  • Rank2 – ranking po turnieju. Rank2 = RankP + PU1 + PU2 = Rank1 + PU2,

  • PU3 – całkowity przyrost/ubytek rankingu po turnieju. PU3 = PU1 + PU2 = Rank2 - RankP.

                                        Tabela nr TK3

 ============================================================================
 Lp. Nazwisko     Rank0   PU1    Rank1   Pkt    Z   P     PU2   Rank2    PU3
 ============================================================================
 1. Mamedyarov S.  2809  -5.0   2804.0   8.0    3 - 1    10.0   2814.0    5.0
 2. Caruana F.     2784   0.2   2784.2   9.0    5 - 1    20.0   2804.2   20.2
 3. Kramnik V.     2800  -3.2   2796.8   6.5    3 - 4    -5.0   2791.8   -8.2
 4. So W.          2799  -3.0   2796.0   6.0    1 - 3   -10.0   2786.0  -13.0
 5. Karjakin S.    2763   5.0   2768.0   8.0    4 - 2    10.0   2778.0   15.0
 6. Ding L.        2769   3.6   2772.6   7.5    1 - 0     5.0   2777.6    8.6
 7. Aronian L.     2794  -1.6   2792.4   4.5    1 - 6   -25.0   2767.4  -26.6
 8. Grischuk A.    2767   4.0   2771.0   6.5    2 - 3    -5.0   2766.0   -1.0
 ============================================================================
                  22285  -0.0  22285.0  56.0   20 -20     0.0  22285.0    0.0

Współczynnik rozwoju szachisty „K”

Prof. Elo projektując swój system rankingowy ograniczył zakres rankingów od 2200 do 2700. Wtedy to liczba punktów rankingowych w jego systemie bardzo dobrze odzwierciedlała siłę gry szachisty. Statystyczny błąd obliczeniowy mógł być tylko niewielkich rozmiarów. Dlatego jak najwięcej zawodników chciało być klasyfikowanych przy pomocy tego rankingu. Obecnie dolny zakres rankingu obniżono do 1000 pkt.

Z tego to właśnie powodu pojawiły się problemy. Najszybszy postęp w podnoszeniu swojego poziomy gry osiągają zawodnicy zazwyczaj w wieku kilku lub kilkunastu lat. Szachiści ci zbyt wolno przemieszczali się w górę tabeli rankingowej i mieli zaniżony ranking. Zawodnik startujący z poziomu 1000 nie miał praktycznie szans na awans na pułap 2600.

Ażeby rozwiązać ten problem wprowadzono pojęcie współczynnika rozwoju szachisty oznaczanego zwykle literką „k”. Obecnie współczynnik ten może przybierać wartości 10, 20 i 40. Szczegóły zawarte są w przepisach FIDE

(http://www.fide.com/fide/handbook.html? ... ew=article) , które przytaczam poniżej.

 

8.56 K jest współczynnikiem rozwoju.
K = 40 dla nowego zawodnika na liście rankingowej, dopóki nie rozegrana co najmniej 30 zaliczanych do rankingu partii.
K = 20 tak długo, jak długo ranking zawodnika pozostaje poniżej 2400.
K = 10, gdy ranking zawodnika osiągnie 2400 i pozostanie na tym poziomie, nawet jeśli spadnie poniżej 2400.
K = 40 dla wszystkich graczy do 18-stu lat, dopóki ich ocena pozostaje poniżej 2300.
Jeśli liczba gier (n) dla gracza znajdującego się na dowolnej liście za okres oceny pomnożona przez K (zgodnie z definicją powyżej) przekracza 700, wówczas K jest największą liczbą całkowitą, tak aby K x n nie przekraczała 700.

Wprowadzenie współczynnika rozwoju  „K” skomplikowało i to do tego w niemałym stopniu funkcjonowanie tego rankingu, a ponadto system ten stał się mniej wiarygodny w ocenie siły gry zawodnika, punkty rankingowe zaczęły się dewaluować.  
System zaproponowany przez prof. Elo wprowadziła w życie Szachowa Federacja Stanów Zjednoczonych (USCF) jeszcze w 1960 roku. Zatem autor tego systemu musiał rozpocząć nad nim prace jeszcze pod koniec lat pięćdziesiątych ubiegłego wieku, czyli około 60 lat temu. Nie miał do dyspozycji tak szybko liczących komputerów jakie mamy obecnie.  Nie mógł też korzystać z olbrzymich baz danych. Najprawdopodobniej pracował tylko na papierze.
Prof. Elo układając  tabele zależności (tabela nr 1) posłużył się dystrybuantą zmiennej losowej o rozkładzie normalnym i średnim odchyleniu standardowym  σ = 2000/7 ≈ 285.71. Uwzględniając współczynnik rozwoju „k” otrzymujemy dla poszczególnych jego wielkości następujące wartości odchylenia standardowego.
         k=10         σ10 = 200/7 ≈ 28.57
         k=20         σ20 = 100/7 ≈ 14.29
         k=40         σ40 =  50/7 ≈  7.14  
Dla tych, dla których powyższy tekst jest za bardzo naukowy, spróbuję przedstawić go w inny sposób. Zauważmy, że w tabeli zależności nr 3, czym większe są wielkości „RR”, to tym większe są również wartości „PUR”. Biorąc jednak pod uwagę procentowy przyrost PUR, to w miarę zwiększania RR wartość ta może tylko maleć, z dokladnością do zaokrąglenia. Widać to doskonale z poniższej tabelki.

                 Tabela nr 4
      =================================
       RR     k=10      k=20       k=40
      =================================
        0     1.40%     2.79%     5.59%
       50     1.39%     2.78%     5.56%
      100     1.37%     2.74%     5.47%
      150     1.33%     2.67%     5.34%
      200     1.29%     2.58%     5.16%
      250     1.24%     2.47%     4.95%
      300     1.18%     2.35%     4.71%
      350     1.11%     2.23%     4.45%
      400     1.05%     2.10%     4.19%
Z tabelki tej wynika, że największy procentowy przyrost/ubytek punktów rankingowych ma miejsce wtedy, gdy RR przyjmuje wartości w pobliżu zera (oczywiście nie w  przypadku, gdy RR = 0).  Ażeby trafić do przeciętnego czytelnika, zamiast używać pojęcia odchylenie standardowe będę używał pojęcia MaxPU oznaczającego największy (a właściwie graniczny) procentowy przyrost lub ubytek punktów rankingowych w momencie rozpoczynania partii szachowej.  To pojęcie wydaje mi się bardziej intuicyjne.  Po przeliczeniu otrzymujemy następujące wartości odchylenia standardowego σ i odpowiadające im wartości MaxPu w zależności od współczynnika rozwoju szachisty „k”.

         k=10         σ10 = 200/7 ≈ 28.57         MaxPu =1.40%
         k=20         σ20 = 100/7 ≈ 14.29         MaxPu =2.79%
         k=40         σ40 =  50/7 ≈  7.14         MaxPu = 5.59%

Wydaje mi się, że wielkości MaxPu dla k=10 są stanowczo za małe. Dla futbolowego rankingu Elo w wersji klubowej za MaxPu przyjąłem wartość równą 5%.  Faktycznie, jeśli uwzględni się wynik bramkowy jest ona znacznie większa. Czym większe wielkości  podstawimy za MaxPu, to proces ścieśniania tabeli rankingowej w momencie rozpoczynania partii szachowej będzie tym szybszy. Czym więcej zanotujemy w turnieju wyników remisowych to proces ten też się zwiększy. Ponieważ procent wyników remisowych  w partiach czołowych arcymistrzów jest wysoki, to MaxPu nie powinno być zbyt duże. Przy zbyt wysokim MaxPu ranking Elo byłby za mało stabilny. W tabeli rankingowej panowałby za duży tłok. Natomiast przy zbyt niskim MaxPu ranking Elo byłby za mało wrażliwy na ostatnie wyniki, i mógłby nie odzwierciedlać aktualnej siły gry szachisty.  Problemowi temu powinni przyjrzeć się uważnie statystycy. A ze mnie nie jest żaden statystyk. Na uczelni ze statystyki matematycznej miałem zaledwie kilka godzin zajęć i to blisko pół wieku temu.

Deflacja i inflacja rankingu FIDE

Problemy z deflacją i inflacją liczby punktów rankingowych zaczynają się pojawiać, gdy przy szachownicy spotkają się gracze o różnym współczynniku rozwoju „K”. Niech w naszym przykładzie zawodnik Z1 ma ranking 2450 i k=10, natomiast zawodnik Z2 ranking 2150 i k=40. Dalej postępujemy wg punktu 8.55 w/w przepisów FIDE.

W tym celu obliczamy najpierw różnicę rankingów RR=2450-2150=300. Tabela 8.1(b) zamieszczona jest również powyżej jako tabela nr 2. Odnajdujemy w niej przedział 291-302. W tym to właśnie przedziale znajduje się wartość RR=300. Dla zawodnika Z1 PD = 0.85, a dla zawodnika Z2 PD = 0.15.

Zawodnik                Z1                          Z2
PD                     0.85                        0.15
Wynik             1     0.5   0                1    0.5    0
ΔR = wynik–PD    0.15 -0.35 -0.85             0.85  0.35 -0.15
ΔR x K    (k=10) 1.50 -3.50 -8.50     (k=40) 34.00 14.00 -6.00

A teraz na podstawie powyższej tabelki utwórzmy poniższą.

       Wyniki    Z1     Z2      PU 
    1-0     1.50 –  6.00 = -4.50
   
½-½    -3.50 + 14.00 = 10.50
    0-1    -8.50 + 34.00 = 25,50

Suma liczby punktów rankingowych na całej liście zmieni się o podane w ostatniej kolumnie wartości. Jest to właśnie przyczyna deflacji i inflacji rankingu FIDE. Ten drugi proces jest silniejszy od pierwszego. Warto zauważyć, że gdyby zawodnicy Z1 i Z2 posiadali jednakowy współczynnik rozwoju „K”, to wartości w ostatniej kolumnie powyższej tabelki byłyby zawsze równe zero i w/w przyczyny deflacji i inflacji rankingu FIDE nie zachodziłyby. Wprowadzenie współczynnika rozwoju „K” zatem komplikuje i wypacza trochę ranking Elo.

Piłka nożna jest natomiast sportem zespołowym i stosowanie współczynnika rozwoju zawodnika (drużyny) byłoby niedorzecznością. Podsumowując ranking Elo powinien być bardziej wiarygodny i prostszy w stosowaniu w sportach drużynowych niż w indywidualnych.